KALKULATIONSTABELLE zur Darstellung von Kostengruppen
(Häufigkeitsdiagramme, Histogramme) und deren statistische Auswertung.
"Wenn der Durchschnitt nicht die Mitte ist", das kleine Einmaleins der Statistik .
1Eingangstabelle
n
CHF
∑n
∑CHF
m = ∑CHF/n
k*SD
CI
median
log (CHF)
∑log CHF (Antilog→
m gm
k*SD ←exp→
CI (exp)
median )
Nr01
(Antilog→
←exp→
)
Nr02
(Antilog→
←exp→
)
Nr03
(Antilog→
←exp→
)
Nr04
(Antilog→
←exp→
)
Nr05
(Antilog→
←exp→
)
Nr06
(Antilog→
←exp→
)
Nr07
(Antilog→
←exp→
)
Nr08
(Antilog→
←exp→
)
Nr09
(Antilog→
←exp→
)
n
CHF
∑n
∑CHF
m = ∑CHF/n
k*SD
CI
median
log(CHF)
∑log CHF (Antilog→
m gm
k*SD ←exp→
CI (exp)
median )
Nr10
(Antilog→
←exp→
)
Nr11
(Antilog→
←exp→
)
Nr12
(Antilog→
←exp→
)
Nr13
(Antilog→
←exp→
)
Nr14
(Antilog→
←exp→
)
Nr15
(Antilog→
←exp→
)
Nr16
(Antilog→
←exp→
)
Nr17
(Antilog→
←exp→
)
Nr18
(Antilog→
←exp→
)
n
CHF
∑n
∑CHF
m = ∑CHF/n
k*SD
CI
median
log (CHF)
∑log CHF Antilog→
m gm
k*SD ←exp→
CI (exp)
median )
Nr19
(Antilog→
←exp→
)
Nr20
(Antilog→
←exp→
)
Nr21
(Antilog→
←exp→
)
Nr22
(Antilog→
←exp→
)
Nr23
(Antilog→
←exp→
)
Nr24
(Antilog→
←exp→
)
Nr25
(Antilog→
←exp→
)
VF
n
SaldoCHF
m
SD
CI (=m±k*SD)
Median
log →
exp →
Saldo
(Antilog→
gm
SD
←exp→
CI(=gm±k*SD)
Median
)
ν=n-1
n-1
SM = SD/√n
SM
CI(=m±k*SM)
log →
SM
exp →
CI(=gm±k*SM)
Varianz = SD2 =D2/ν
SD2
=D2/ν
D2 = SD2*ν
= ∑(CHF-m)2
DI Χ2
=D2/m
log →
SD2
=D2/ν
D2
=∑(logCHF-m)2
Χ2
=D2/m
k
%CI- Wahl
Export für Vergleichsteste
2
Tabelle Zusammenfassung des letzten Datensatzes aus Tabelle (1) bzw. der Datensätze aus der Tabelle (3) und deren statistische Auswertung . Bei Handeingabe sind mindestens die **-Eckwerte auszufüllen.
Probe
A
B
Probe
A
B
∑n = n
**
ν = n-1 Freiheitsgrade
Saldo ∑CHF
*
Saldo ∑ log CHF
Median
Median
Arithmetisches Mittel m **
1234567890123456781921234
Geometrisches Mittel
gm exp →
D2 = ∑(CHF-m)2
D2=∑Abweichquadrate
Varianz SD2 = D2/ν
Varianz SD2 = D2/ν
SD = √SD2**
SD = √SD2
k = CI
CI (= m±k*SD)
CI (= gm±k*SD)
exp →
Standardfehler d. Mittelwertes
SM = SD/√n
SM = SD/√n
CI für wahren Mittelwert
CI (= m ±k*SM)
CI (= gm±k*SM)
exp →
DispersionsIndex Χ2 =D2/m
Χ2 =D2/m
p-Dichte d. Normalverteilung
f(x)=(1/SD√2π)e-0.5((x-m)/SD)2
xA
xB
xA
xB
Wahrscheinlichkeit p -∞ bis x
F(x)=x1=m-4SD∫xf(x)dx
x1A
x1B
Integrationsschritt
x1A
x1B
Χ2 =
∫ (fb - fe)2/fe
0.1/0.05 p-Schranken
Χ2/
Χ2/
Normalverteilung?
Χ2/
Χ2/
Chi-Quadrat-Berechnung in
normadaptierten Klassen
Kollektive A und B
Log-Transformation
Bemerkungen
• Gauss-Wahrscheinlichkeit
der "irrtümlichen Verwechslung"
p = F(x)A * F(x)B
√p = geometrisches Mittel von p
p
√p
p
√p
p
√p
p
√p
Zufallsereignisse: Berechnung kombinierter
Ereigniswahrscheinlichkeiten für den
Bereich x1 bis x in überlappenden
Gauss-Kurven der Kollektive A und B .
• Vergleich 2er Varianzen mit F-Test :
Quotient F = Grössere SD2/Kleinere SD2
F
P
F
P
Varianz = mittlere quadratische Abweichung
= Streuung = D2/n-1 = D2/ν = SD2
Überschreitet F bzw. unterschreitet p die
Signifikanzschranke, so liegt Varianzungleichheit vor,
der t-Test ist dann nicht anwendbar.
• Vergleich 2er Mittelwerte
im Student-t-Test:
t
2P
t
2P
Student-t-Test nur bei Normalverteilung
und Varianzgleichheit zugelassen.
• Vergleich 2er Mittelwerte
im modifizierten Student-t-Test:
t
2P
t
2P
modifizierter Student-t-Test zugelassen
bei Normalverteilung und Varianzungleichheit.
Probe A
gemeinsamer
m
gm
Satz Nr
n
∑n
CHF
log CHF
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
TOTAL
n
mA
gmA
Probe B
gemeinsamer
n
∑n
CHF
log CHF
TOTAL
n
mB
gmB
←3Kalkulationstabelle zur Erstellung von Kostengruppen, welche dann in den Tabellen (2) und (4) ausgewertet werden können.
↓ 4
Die Dichotomierung der Kostenrisiken-Verteilung durch den Mittelwert kann im Χ2-Test oder Fisher's exact Test auf Signifikanz geprüft werden. Ist das Prüfkollektiv ein Teilkollektiv des Referenzkollektivs, so wird im Urnenmodell (Referenzkollektiv = Urne, Fisher's Exact) das Prüfkollektiv gegen die "Resturne" getestet. In der 4-Felder-Tafel des Χ2-Testes kann die Verteilung der Kostenrisiken um einen gemeinsamen Mittelwert, oder - wie im Median-Test - um einen gemeinsamen Median auf statistische Signifikanz geprüft werden. IKI heisst "individueller Kostensindex" ist der Quotient CHF-Betrag / CHF-Bezugsbasis.
IKI
Basis m =
CHF
Kollektiv A
n
Kollektiv A
100 %
Kollektiv B
n
Kollektiv B
100 %
IKI
Basis gm=
log
Kollektiv A
n
Kollektiv A
100 %
Kollektiv B
n
Kollektiv B
100 %
0.50
0.60
0.75
0.65
1.00
0.70
1.25
0.75
1.50
0.80
1.75
0.85
2.00
0.90
2.50
0.95
3.00
1.00
3.50
1.05
4.00
1.10
4.50
1.15
5.00
1.20
6.00
1.30
7.00
1.40
8.00
1.50
9.00
1.60
10.00
1.70
KURZBESCHREIBUNG:
Dieses Tabellenkalkulations-Programm enthält drei Kalkulationstabellen zur Eingabe von Messergebnissen und Histogrammen (Tabellen 1, 3 und 4) sowie einen zentralen Rechner zur statistischen Bewertung von Mittelwerten im Student-t-Test (Tabelle 2) und Berechnung von Ereigniswahrscheinlichkeiten innerhalb beliebiger x-Wert-Bereiche der Gauss'schen Normalverteilung ("Zufallsereignisse"). Die Besonderheit des Gausskalkulators liegt in der direkten Berechnung der Wahrscheinlichkeit (Probabilität) als "Fläche unter der Gausskurve" unter Anwendung von konkretem Mittelwert(m) und Standardabweichung(SD) ohne Behelf der standardisierten Normalverteilung (sog. c-Transformation mit m = 0 und SD = 1).
Dieses Programm, geboren aus der Not einer 60 jährigen Geschichte des inkompetenten Umganges mit dem Mittelwert-Messinstrument seitens des Krankenversicherers in der Beurteilung der Kostenstruktur der Arztpraxis, welcher vermutlich viele Aerzte zu Unrecht der "Überarztung" bezichtigte (persönliche Meinung des Autors), verwendet für die anonyme x-Variable (Untersuchungsparameter) die Bezeichung CHF (Schweizerfranken) und trainiert den Anwender, in Geldfragen seine Ratio nicht einfach ausser Kraft zu setzen (offenbar eine typische CH-Eigenschaft).
ANWENDUNG:
Die Eingangstabelle 1 dient zur Erfassung der x-Werte (z.B. CHF) als Einzelwerte einer Messreihe oder als Gruppenwerte von Histogrammen (in den ersten 2 Kolonnen links, vergl. voreingestelltes Beispiel). Die fortlaufende postenweise Saldierung (eine Art buchhalterisches Benchmarking als orientierende Richtschnur) und die log-Transformation der x-Werte erfolgt automatisch bei der Betätigung der "calc"-Taste. Die Tasten "Probe A ↓" und "Probe B ↓" exportieren das Rechenergebnis in die Tabelle 2 (zentraler Statistikprozessor) zur weiteren statistischen Auswertung und in die Tabelle 3.
Die Beschreibung und Anwendung der Tabelle 2 kann auch unter dem Funktionsbutton "Anwendung Tabelle 2" abgerufen werden. Die Tabelle 2 dient zur statistischen Auswertung der Vergleichskollektive und kann auch zur manuellen Eingabe der Eckwerte Anzahl(n), Mittelwert(m) und Standardabweichung(SD) genutzt werden. Die blaue Seite für log-transformierte Werte steht bei manueller Anwendung zusätzlich auch für nicht transformierte Werte zur Verfügung.
Die Kalkulationstabelle (3) erlaubt die parallele Auswertung von 2 Vergleichskollektiven analog der Eingangstabelle 1 (vergleiche voreingestelltes Beispiel rechts). Die Funktionsbuttons "Calc" berechnen wiederum die Proben A & B und geben das Resultat in Tabelle 2 aus. Gemeinsamer Mittelwert und gemeinsamer Median werden mit entsprechenden Funktionsbuttons berechnet und mittels den Tasten "→4" in die Kalkulationstabelle (4) als Bezugsbasis der Dichotomierung exportiert.
Die Tabelle (4) visualisiert die Dichotomierung des Messkollektivs durch den Kostenindex (KI) auf Basis eines gemeinsamen Mittelwertes bzw. gemeinsamen Medians. Das Kürzel IKI steht für Individueller KostenIndix und wurde von mir bewusst so gewählt um zu verdeutlichen, dass wenn man mit Indices arbeitet, diese logischerweise bis hin zum einzelnen Messwert durchziehen muss. Die Zweiteilung eines Kollektivs durch einen Kostenindex wird in den entsprechenden Feldern wie ein Fussballresultat (sogenannte odds) ausgegeben → Anzahl Kosten-Nichtrisiken (links des gewählten Index) : Anzahl Kosten-Risiken (rechts des gewählten Index). Diese Häufigkeiten können im Χ2-Test oder Fisher's exact Test
auf statistische Signifikanz getestet werden. Anstelle von Kosten (CHF) können beliebige x-Werte als Indexbasis eingesetzt werden.
Schliesslich sei noch auf nützliche Zusatzrechner hingewiesen, die unter den entsprechenden Funktionsbuttons abgerufen werden können:
• F to p Calculator zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten der F-Verteilung nach Eingabe von F.
• t to p Calculator zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten der Student-t-Verteilung nach Eingabe der t-Werte.
• Χ^2 to p Calculator zur direkten Berechnung der Wahrscheinlichkeiten der Χ2-Verteilung für die Freiheitsgrade ν = 2-200. Ein nützliches Instrument zur Beurteilung des Vorkommens (relative Häufigkeit, Wahrscheinlichkeit p) einer bestimmten Χ2-Grösse im Fall der Normalverteilung ("Zufalls-Verteilung") und zur Auslotung der Signifikanzschranken von Chiquadrat-Testen mit Freiheitsgraden > 1.
• Gauss-Calculator, ein neuartiges Kleinod zur direkten Berechnung der Wahrscheinlichkeiten der Normalverteilung mittels einer kleinen Integralschleife: p = F(x) als bestimmtes Integral der Gauss'schen Wahrscheinlichkeitsdichte f(x). Dieser kleine Rechner erübrigt das mühselige zweistufige Verfahren zur Ermittlung des Gauss'schen Integrals F(x) anhand von stochastischen Tabellen der standardisierten Normalverteilung nach c-Transformation der x-Werte. Er ist die längst fällige Ergänzung des Konfidenzintervalles und erlaubt die Berechnung der Zufallsereigniswahrscheinlichkeit für beliebige CI-Bereiche. Er ist geistiges Eigentum des Autors und soll KEINEM COPYRIGHT UNTERSTELLT sein. Seine Konstruktion kann im JavaScript nachgelesen werden .
• log Calc zur Berechnung des Logarithmus naturalis eines bestimmten x-Wertes, also die sogenannte log-Transformation (log) eines x-Wertes und dessen Rücktransformation (exp, Exponentialfunktion, Antilog).
LITERATUR : • Wissenschaftliche Tabellen Geigy, Band 3 Statistik, CIBA-GEIGY Basel 1980
• Biometrie: Grundzüge biologisch-medizinischer Statistik. Luigi Cavalli-Sforza, R.J.Lorenz, Gustav Fischer Verlag, Stutgart 1972.
• Biometrie-Vorlesungen Prof.Dr.J.Hüsler, Wintersemester 2004/05 Universität Bern.
Autor:
Dr. med. Franz Ackermann-Ball
Spezialarzt FMH Innere Medizin
Ziegelfeldstr. 30 , CH-4600 Olten.
7. Februar 2005
Letzte Revision 15.05.2006
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Geschrieben für consano, Edition kardiolab
